PINN 讲义第 2 章：微分方程、边界条件与数值近似

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阅读说明#

这份讲义面向希望系统理解 Physics-Informed Neural Networks 的读者，尽量从微分方程、数值近似和神经网络函数表示的基本语言讲起，再逐步进入 PINN 的残差构造与训练过程。

上一章讨论了函数、导数和偏导数。本章要把这些语言组织成真正的科学计算问题。微分方程不是孤立的公式，它通常和初值条件、边界条件、区域以及物理参数一起出现。只有这些信息共同给定时，“求解一个方程”才成为一个明确的问题。

这一章还要完成从微分方程到 PINN 的第二个关键过渡：为什么需要近似解，以及如何判断一个候选函数是否近似满足方程。传统数值方法通过网格和差分把连续问题转化为有限维代数问题；PINN 则用神经网络表示候选函数，并通过残差衡量它对方程的违反程度。两者实现方式不同，但都离不开同一个基本思想：真实解难以直接得到时，我们构造一个近似对象，并检查它满足原问题的程度。

2.1 微分方程给出的是变化规律#

一个普通代数方程通常要求解一个数。例如 $x+1=3$ 的未知量是 $x$ ，解是 $x=2$ 。微分方程则不同，它的未知量通常是函数，并且方程中出现这个函数的导数。导数描述变化率，所以微分方程描述的是函数必须满足的变化规律。

最简单的例子是指数衰减方程：

\frac{du}{dt}=-ku.

这里 $u(t)$ 是未知函数， $t$ 表示时间， $k>0$ 是给定常数。方程的含义是：某一时刻的变化率 $\frac{du}{dt}$ 与当前量 $u(t)$ 成正比，并且方向相反。若 $u(t)$ 表示某种物质的剩余量，这个方程表达的是“剩得越多，衰减得越快；但总是在减少”。

只看这个方程，还不能唯一确定一个具体函数。函数

u(t)=Ce^{-kt}

对任意常数 $C$ 都满足方程。不同的 $C$ 对应不同的初始量。若进一步给出

u(0)=u_0,

就能确定 $C=u_0$ ，从而得到

u(t)=u_0e^{-kt}.

这说明微分方程本身给出变化规律，初值条件则告诉我们系统从哪里开始。二者合在一起，才形成一个初值问题。OpenStax 的微分方程教材也采用这种表述：微分方程配合一个或多个初始值，构成 initial-value problem。对初学者来说，重要的不是记住英文术语，而是理解“方程 + 初始状态”共同决定演化过程。

并不是所有问题都以初始时刻为核心。有些问题关心的是空间区间或区域内部的函数，并在边界上给定条件。考虑区间 $0\le x\le 1$ 上的方程

-u''(x)=f(x).

如果再给出

u(0)=0,\qquad u(1)=0,

这就是一个边值问题。方程规定区间内部的变化关系，边界条件规定函数在区间两端的取值。Britannica 对 boundary value problem 的解释也强调：除了满足微分方程，解还必须满足给定边界值。对 PINN 而言，这一点非常重要，因为边界条件将来会变成损失函数中的边界误差项。

2.2 从常微分方程到偏微分方程#

若未知函数只依赖一个自变量，方程中只出现普通导数，称为常微分方程。指数衰减方程就是典型例子。若未知函数依赖多个自变量，并且方程中出现偏导数，就得到偏微分方程。科学计算中大量重要模型都属于偏微分方程。

以一维热方程为例：

u_t=\alpha u_{xx}.

这里 $u(x,t)$ 表示位置 $x$ 、时间 $t$ 处的温度， $u_t$ 表示温度随时间的变化率， $u_{xx}$ 表示温度沿空间方向的二阶变化， $\alpha$ 是热扩散系数。这个方程说的是：温度随时间如何变化，由它在空间上的弯曲程度决定。若空间温度分布很平缓， $u_{xx}$ 较小，温度随时间变化也较弱；若某处温度分布弯曲明显，扩散效应会更强。

热方程通常还需要初值条件和边界条件。若空间区间为 $0\le x\le L$ ，可以给出初值条件

u(x,0)=u_0(x),

表示初始时刻整根杆上的温度分布。若两端温度固定为零，则边界条件为

u(0,t)=0,\qquad u(L,t)=0.

于是完整问题由方程、空间区间、时间范围、初始温度和边界温度共同组成。少了其中任何一部分，问题都可能不完整。

再看两个常见 PDE。波动方程

u_{tt}=c^2u_{xx}

用于描述弦振动、声波等传播现象。它把时间二阶变化与空间二阶变化联系起来，通常需要给出初始位移、初始速度和边界条件。泊松方程

-\Delta u=f

常用于稳态扩散、静电势和压力泊松问题。这里 $\Delta$ 是拉普拉斯算子，在二维中可写为

\Delta u=u_{xx}+u_{yy}.

泊松方程不描述时间演化，而是描述空间区域内的平衡关系，因此通常作为边值问题出现。

这些例子共同说明，微分方程不是孤立的求导练习。它们把函数、区域、导数、物理参数和条件组织成一个整体。PINN 后续要做的事情，就是用神经网络函数 $u_\theta$ 去同时满足这些组成部分。

2.3 解析解、数值解与近似思想#

有些微分方程可以写出解析解，例如指数衰减方程的解是 $u(t)=u_0e^{-kt}$ 。但在更多实际问题中，解析解很难得到，甚至根本无法用初等函数表达。复杂几何区域、非线性项、变系数、多维耦合以及复杂边界条件，都会使解析求解变得困难。

这时就需要数值解。数值解不是把函数写成一个漂亮公式，而是在有限的信息中构造一个近似对象。传统数值方法通常先把连续区域离散化。例如，在区间 $[0,L]$ 上取网格点

x_i=ih,\qquad i=0,1,\ldots,N,

其中 $h=L/N$ 是网格步长。未知函数 $u(x)$ 不再被整体处理，而是在这些网格点上用数值 $u_i\approx u(x_i)$ 表示。连续问题由此变成有限个未知数的问题。

有限差分方法是最容易理解的离散化方法之一。它用相邻点的函数值近似导数。例如，一阶导数可以用前向差分近似：

u'(x_i)\approx \frac{u(x_{i+1})-u(x_i)}{h}.

如果要近似二阶导数，常用中心差分：

u''(x_i)\approx \frac{u(x_{i-1})-2u(x_i)+u(x_{i+1})}{h^2}.

这个公式来自 Taylor 展开，也可以直观理解为用相邻三个点的函数值衡量 $u$ 在 $x_i$ 附近的弯曲程度。MIT 的数值 PDE 课程把有限差分作为理解 PDE 数值方法的基本入口，原因也正在这里：它直接展示了如何把导数换成网格点上的代数表达式。

例 2.1
考虑边值问题

-u''(x)=f(x),\qquad 0<x<1,

并给定

u(0)=0,\qquad u(1)=0.

取均匀网格 $x_i=ih$ ，在内部点 $x_i$ 上用中心差分近似二阶导数，可得

-\frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h^2}=f(x_i).

这里 $u_i$ 近似 $u(x_i)$ 。对所有内部网格点写出这样的方程，再加上边界条件 $u_0=0$ 、 $u_N=0$ ，就得到一个有限维线性方程组。求解这个线性方程组，便得到原边值问题在网格上的近似解。

这个例子揭示了传统数值方法的一般思路：把连续函数替换为有限个数，把导数替换为差分，把微分方程替换为代数方程组。这样做会引入近似误差，但也使问题变得可以计算。

2.4 残差：候选解对方程的违反程度#

无论采用传统数值方法还是 PINN，我们都需要判断一个候选函数是否满足方程。残差就是为此引入的概念。

先从简单 ODE 看起。设方程为

u'(t)+u(t)=0.

如果候选函数是 $\tilde{u}(t)$ ，把它代入方程左端，得到

r(t)=\tilde{u}'(t)+\tilde{u}(t).

若 $r(t)=0$ 对所有 $t$ 都成立，则 $\tilde{u}$ 精确满足方程。若 $r(t)$ 不为零，则它衡量了 $\tilde{u}$ 对方程的违反程度。残差越小，说明候选函数越接近满足方程。

例如，令

\tilde{u}(t)=e^{-t}.

由于 $\tilde{u}'(t)=-e^{-t}$ ，所以

\tilde{u}'(t)+\tilde{u}(t) =-e^{-t}+e^{-t} =0.

这个候选函数精确满足方程。若改取

\tilde{u}(t)=e^{-t}+0.1t,

则

\tilde{u}'(t)+\tilde{u}(t) =(-e^{-t}+0.1)+(e^{-t}+0.1t) =0.1+0.1t.

残差不再为零，说明这个函数虽然可能在某些点上接近真实解，但并不严格满足方程。

对于 PDE，残差的思想完全类似。若方程写成抽象形式

\mathcal{N}[u](x,t)=0,

其中 $\mathcal{N}$ 是包含导数的微分算子，那么候选函数 $\tilde{u}$ 的残差为

r(x,t)=\mathcal{N}[\tilde{u}](x,t).

热方程的残差就是

r(x,t)=\tilde{u}_t(x,t)-\alpha \tilde{u}_{xx}(x,t).

如果这个残差在区域内部处处为零，说明候选函数满足热方程。实际计算中我们通常无法检查所有连续点，只能在有限个点上检查残差，或者用某种积分意义衡量整体残差。这一点已经非常接近 PINN：PINN 也是在采样点上计算神经网络函数的 PDE 残差，并把残差平方加入损失函数。

2.5 从数值残差到 PINN 残差#

传统有限差分方法和 PINN 的外观不同，但都围绕“构造近似解并检查方程满足程度”展开。有限差分方法先选定网格，再把导数替换为差分表达式，最终求解代数方程组。PINN 则先选定神经网络 $u_\theta$ ，再用自动微分计算它的导数，并在采样点上计算 PDE 残差。

设热方程为

u_t-\alpha u_{xx}=0.

在有限差分方法中，我们可能在网格点上用时间差分和空间差分近似 $u_t$ 与 $u_{xx}$ 。在 PINN 中，我们直接把神经网络函数 $u_\theta(x,t)$ 代入方程，并通过自动微分得到

r_\theta(x,t) = \frac{\partial u_\theta}{\partial t}(x,t) - \alpha \frac{\partial^2u_\theta}{\partial x^2}(x,t).

若选取一组内部采样点 $(x_i,t_i)$ ，PINN 可以定义 PDE 残差损失

\mathcal{L}_{\mathrm{PDE}}(\theta) = \frac{1}{N_r} \sum_{i=1}^{N_r} \left|r_\theta(x_i,t_i)\right|^2.

这个损失项的含义非常直接：在这些采样点上，网络函数代入方程后越接近零，损失越小。与传统有限差分不同的是，PINN 不必把解只表示为网格点上的数值，而是用一个连续可求导的网络函数表示近似解。与普通神经网络拟合不同的是，PINN 的训练目标不只来自观测数据，还来自微分方程本身。

当然，这并不意味着 PINN 自动优于传统数值方法。有限差分、有限元和有限体积方法有成熟的误差分析、稳定性理论和高效求解器；PINN 的优势更多体现在某些数据稀缺、反问题、复杂约束融合或高维场景中，但它也会遇到优化困难、损失项不平衡和采样不足等问题。因此，本章引入残差不是为了否定传统数值方法，而是为了让读者看到：PINN 中的 PDE 损失其实继承了科学计算中非常基本的思想。

本章小结#

微分方程描述的是未知函数必须满足的变化规律。常微分方程处理单变量函数，偏微分方程处理多变量函数；初值条件给出系统的起始状态，边界条件给出区域边界上的约束。一个完整的求解问题通常由方程、区域、初值或边界条件以及物理参数共同构成。

由于实际方程往往无法写出解析解，数值方法通过离散化构造近似解。有限差分方法用相邻网格点上的函数值近似导数，从而把微分方程转化为代数方程组。残差则衡量一个候选函数代入方程后偏离零的程度。PINN 正是把这个残差思想与神经网络函数表示、自动微分和优化训练结合起来：用 $u_\theta$ 表示候选解，用 $r_\theta=\mathcal{N}[u_\theta]$ 衡量方程违反程度，并把残差写入损失函数。

习题#

对方程 $\frac{du}{dt}=-2u$ ，验证 $u(t)=Ce^{-2t}$ 满足方程。若 $u(0)=3$ ，求 $C$ 。
写出热方程 $u_t=\alpha u_{xx}$ 在区间 $0<x<L$ 上的一个完整初边值问题，包括初值条件和两端边界条件。
用中心差分公式近似 $u''(x_i)$ ，说明公式中 $u_{i-1}$ 、 $u_i$ 、 $u_{i+1}$ 分别表示什么。
对方程 $u'(t)+u(t)=0$ ，计算候选函数 $\tilde{u}(t)=e^{-t}+t^2$ 的残差。
解释有限差分残差和 PINN 残差的共同点与不同点。